算法笔记：这套软体物理是怎么算出来的

首页那个能戳能甩的 playground，全部代码不到 700 行，核心只有五件事。下面按求解顺序讲一遍，附本站的真实实现片段（完整源码在 GitHub 仓库的 src/scripts/engine.js）。

0. 整体骨架：PBD

传统做法是「算受力 → 更新速度 → 更新位置」，软体一多就容易炸。 PBD（Position Based Dynamics）反过来：先让物体自由运动到一个错误的位置，再反复把位置修正回满足约束的地方，速度不单独存，用「当前位置 − 上一步位置」隐式得到。

好处是永远不会因为弹簧太硬而数值爆炸——最坏情况只是约束没完全满足，看起来软一点。

一个子步长这样：

// ① 无约束积分（Verlet）
vx = (x - px) * damping;
px = x;  x += vx;
py = y;  y += vy + gravity * h * h;

// ② 反复投影约束（本站每子步迭代 3 轮，每帧 6 个子步）
solveSprings();     // 距离
solveArea();        // 面积 / 压强
solveShapeMatch();  // 形状匹配
solveCollisions();  // 碰撞推出
solveBounds();      // 地面和墙

首页「阻尼」滑块改的就是 damping，「重力」改的是 gravity。阻尼调到 0.985 附近，戳一下两秒就停；调到 1.000，果冻能晃到你不耐烦。

1. 质点与距离约束

场上没有「刚体」这种对象，只有一堆质点和它们之间的约束。一根弹簧就是「这两个质点应该相距 rest」：

const diff = ((d - s.rest) / d) * k;
pa.x += dx * diff * wa;
pb.x -= dx * diff * wb;

k 就是首页的刚度滑块。调低，果冻会被自己的重量压扁；调到 1，几乎不可拉伸。 w 是质量倒数的归一化权重——钉死的质点 invMass = 0，永远不动，反作用力全给对方。

一个果冻球的连接方式是三层：相邻质点连一圈（撑住外形）、隔一个再连一圈（抗剪切）、所有质点连向圆心（防止塌陷）。这对应原项目 README 里说的 internal springs and internal particles。

2. 面积约束：果冻为什么不塌

只有弹簧的软体会像一张湿抹布一样摊在地上。让它保持体积感的是面积约束。

多边形的有向面积有闭式公式，对每个顶点求偏导也有闭式解：

面积：      A = 0.5 * Σ ( x[i]*y[i+1] - x[i+1]*y[i] )
对顶点求导： dA/dp[i] = 0.5 * ( y[i+1]-y[i-1] ,  x[i-1]-x[i+1] )

按 PBD 的通用投影公式，把「当前面积 − 目标面积」这个误差沿梯度方向分配给每个顶点：

const C = currentArea - targetArea;
const lambda = -C / Σ(w_i * |grad_i|²);
p_i += lambda * w_i * grad_i;

首页的压强滑块改的就是 targetArea 的倍数。拉到 2.2，果冻会被吹成一个绷紧的气球，弹性肉眼可见地变强；拉到 0.35，它会瘪下去、像块橡皮泥一样瘫着。这就是原项目说的 area-volume preserving model。

3. 形状匹配：箱子为什么堆得住

弹簧和面积都只约束「局部关系」，物体整体可以慢慢扭成麻花。形状匹配约束的是整体：每一步都求一个最贴合原始形状的旋转，再把质点往这个理想位置拉。

求最优旋转角有闭式解，不需要迭代：

// q 是当前相对质心的位置，r 是静止形状
D = Σ(q·r);   S = Σ(q.y*r.x - q.x*r.y);
theta = Math.atan2(S, D);
goal_i = centroid + Rotate(theta) * r_i;
p_i += (goal_i - p_i) * alpha;

alpha 拉满 = 近似刚体，所以首页「箱子堆叠」那四层金字塔能稳住不倒； alpha 只给 0.04，就是有形状记忆的软体——被压扁之后还认得回家的路。

打开首页的线框开关，你会看到箱子其实也是 8 个质点连成的一团，只是它被形状匹配拽得很紧。

4. 碰撞：掉进去就推出来

这里没有做冲量法，用的是最朴素的位置修正：

AABB 粗筛，跳过不可能相交的物体对；
射线法判断某个质点是否落在另一个物体的多边形内部；
在内部，就找最近的那条边，把质点沿法线推到边上；
反作用力按重心坐标分给这条边的两个端点，按质量倒数加权——这样动量不会凭空产生；
顺手削掉一部分切向速度，这就是摩擦。没有它，箱子会像踩了香蕉皮一样滑走。

绳和链没有闭合轮廓，走的是另一条路：把每个质点当成小圆，用均匀网格做邻域查询，重叠就互相推开。同一个物体内部的质点不互相碰撞，否则会跟弹簧打架。

5. 抓取：为什么甩得出去

鼠标抓取只有一行：把被抓的质点直接拉向指针。

p.x += (grab.x - p.x) * 0.55;

看着像作弊，但因为速度在 Verlet 里是「位置差」，你快速拖动时质点的位置差自然就变大，松手那一刻它带着这个速度飞出去。扔和甩的手感是免费送的，这是 PBD 最讨人喜欢的一点。

和原引擎的差距

诚实地列一下本站没有做的事，原项目都做了：

凸多边形分割（原项目用 polypartition 处理任意凹多边形）
SAP 宽相位、休眠岛（sleeping islands）等性能优化
光线投射（raycasting）、碰撞层掩码
软体自碰撞（本站只做了物体之间的碰撞）
连续碰撞检测、可破坏刚体、流体（这些在原项目的 roadmap 上）
事件系统、UV 映射、Godot 引擎绑定

要认真做游戏，去用原项目，它有完整的文档和示例。